Kursplan för Differentialkalkyl och skalära ekvationer

Kursplan fastställd 2021-02-26 av programansvarig (eller motsvarande).

Kursöversikt

  • Engelskt namnDifferential calculus and scalar equations
  • KurskodTMV225
  • Omfattning7,5 Högskolepoäng
  • ÄgareTKMAS
  • UtbildningsnivåGrundnivå
  • HuvudområdeMatematik
  • InstitutionMATEMATISKA VETENSKAPER
  • BetygsskalaTH - Mycket väl godkänd (5), Väl godkänd (4), Godkänd (3), Underkänd

Kurstillfälle 1

  • Undervisningsspråk Svenska
  • Anmälningskod 55121
  • Sökbar för utbytesstudenterNej
  • Endast studenter med kurstillfället i programplan.

Poängfördelning

0108 Tentamen 7,5 hp
Betygsskala: TH		7,5 hp
  • 24 Okt 2022 fm J
  • 03 Jan 2023 fm J
  • 17 Aug 2023 fm J

I program

Examinator

Gå till kurshemsidan (Öppnas i ny flik)

Behörighet

Grundläggande behörighet för grundnivå
Sökande med en programregistrering på ett program där kursen ingår i programplanen undantas från ovan krav.

Särskild behörighet

Samma behörighet som det kursägande programmet.
Sökande med en programregistrering på ett program där kursen ingår i programplanen undantas från ovan krav.

Kursspecifika förkunskaper

Grundläggande och särskild behörighet.

Syfte

Kursens syfte är att befästa, fördjupa och vidarutveckla kunskaperna i matematik från gymnasiet och därmed lägga en god grund för vidare studier i framför allt kommande matematikkurser på M-programmet. Kursen skall även grundlägga vanan att använda datorberäkning i matematiken.

Lärandemål (efter fullgjord kurs ska studenten kunna)

  • tillämpa grundläggande notation för mängdlära;
  • tillämpa grundläggande notation för matematisk logik;
  • definiera de reella talen;
  • definiera och tillämpa begreppet konvergent talföljd;
  • definiera och tillämpa begreppet Cauchy-följd;
  • definiera och tillämpa begreppen öppen och sluten mängd;
  • resonera kring datorrepresentation av reella tal (flyttal);
  • definiera och tillämpa funktionsbegreppet;
  • definiera och tillämpa grundläggande begrepp för funktioner såsom surjektivitet, injektivitet, bijektivitet, invers funktion, graf, restriktion, funktionsalgebra och sammansättning;
  • tillämpa grundläggande räkneregler för de elementära funktionerna, inklusive polynom, rationella funktioner, potensfunktionen, exponentialfunktionen, naturliga logaritmen, trigonometriska funktionerna och arcusfunktionerna;
  • definiera och tillämpa begreppen gränsvärde, kontinuitet, likformig kontinuitet och Lipschitz-kontinuitet;
  • bestämma gränsvärden symboliskt med hjälp av omskrivning och tillämpning av standardgränsvärden;
  • beräkna gränsvärden numeriskt med hjälp av extrapolation;
  • definiera och tillämpa begreppen derivata och deriverbarhet;
  • bestämma derivator av de elementära funktionerna;
  • definiera och tillämpa deriveringsreglerna för summa, differens, produkt, kvot, sammansättning (kedjeregeln) och invers funktion;
  • bestämma extremvärden;
  • definiera och tillämpa medelvärdessatsen;
  • definiera och tillämpa begreppet linjärisering;
  • definiera och tillämpa numerisk derivata;
  • definiera och tillämpa Taylorpolynom och Maclaurinpolynom;
  • definiera och tillämpa ordonotation;
  • bestämma gränsvärden med hjälp av Taylorutveckling och ordonotation;
  • definiera begreppen serie, konvergens, absolutkonvergens och villkorlig konvergens;
  • bestämma konvergens för serier med hjälp av konvergensvillkor och kända serier (geometrisk serie och p-serie);
  • definiera begreppen potensserie, centrum och konvergensradie;
  • bestämma centrum och konvergensradie för potensserie;
  • definiera begreppen Taylorserie och analytisk funktion;
  • definiera begreppen ekvation, rot och fixpunkt;
  • skriva om ekvationer på fixpunktsform;
  • beräkna lösningen till ekvationer med hjälp av bisektionsalgoritmen;
  • analysera bisektionsalgoritmen (Bolzanos sats);
  • beräkna lösningen till ekvationer med hjälp av fixpunktsalgoritmen;
  • analysera fixpunktsalgoritmen (Banachs fixpunktssats);
  • beräkna lösningen till ekvationer med hjälp av Newtons metod;
  • definiera begreppet konvergensordning och känna till konvergensordningen för bisektionsalgoritmen, fixpunktsalgoritmen och Newtons metod;
  • implementera och tillämpa ovanstående matematiska begrepp och algoritmer för att lösa komplexa problem med hjälp av enkla datorprogram.

Innehåll

Kursen handlar om reella tal, funktioner, derivator och algebraiska ekvationer. Lika stor vikt läggs vid de tre grundpelarna matematisk teori, analytiska tekniker och numeriska beräkningsmetoder.

Mängdlära, matematisk logik, talsystem, talföljder, konvergens, Cauchy-följd, reella tal.

Funktionsbegreppet, funktionsalgebra, elementära funktioner.

Gränsvärde, kontinuitet, likformig kontinuitet, Lipschitz-kontinuitet, symbolisk och numerisk beräkning av gränsvärden.

Derivatans definition, de elementära funktionerna derivator, deriveringsregler, extremvärden, medelvärdessatsen, linjärisering, numerisk derivata.

Taylorpolynom, serier, beräkning av gränsvärden med ordonotation, serier, potensserier, Taylorserier.

Ekvationer, rötter, fixpunkter, bisektionsalgoritmen, fixpunktsalgoritmen, Newtons metod, konvergenshastighet.

Implementation och tillämpning av ovanstående matematiska begrepp och algoritmer.

Organisation

Undervisningen ges i form av föreläsningar samt lektioner och datorövningar i mindre grupper. Mer detaljerad information ges på kursens webbsida före kursstart.

Litteratur

S. Larsson, A. Logg, A. Målqvist, Analys och linjär algebra del I: Differentialkalkyl och algebraiska ekvationer

Examination inklusive obligatoriska moment

Mer detaljerad information om examinationen ges på kursens webbsida före kursstart. Exempel på examinationsformer som kan förekomma är: -utvalda uppgifter redovisas muntligt eller skriftligt för lärare under kursens gång, -annan dokumentation av kunskapsutvecklingen, -projektarbete enskilt eller i grupp, -skriftlig eller muntlig tentamen under och/eller i slutet av kursen. -problem/uppgifter löses med dator och redovisas skriftligt och/eller vid dator.

Kursens examinator får examinera enstaka studenter på annat sätt än vad som anges ovan om särskilda skäl föreligger, till exempel om en student har ett beslut från Chalmers om pedagogiskt stöd på grund av funktionsnedsättning.