Kursplan för Matematisk analys i en variabel

Kursplanen innehåller ändringar
Se ändringar

Kursplan fastställd 2019-02-06 av programansvarig (eller motsvarande).

Kursöversikt

  • Engelskt namnCalculus in one variable
  • KurskodTMV137
  • Omfattning7,5 Högskolepoäng
  • ÄgareTKELT
  • UtbildningsnivåGrundnivå
  • HuvudområdeMatematik
  • InstitutionMATEMATISKA VETENSKAPER
  • BetygsskalaTH - Fem, Fyra, Tre, Underkänd

Kurstillfälle 1

  • Undervisningsspråk Svenska
  • Anmälningskod 50139
  • Sökbar för utbytesstudenterNej
  • Endast studenter med kurstillfället i programplan.

Poängfördelning

0112 Tentamen 6 hp
Betygsskala: TH		0 hp6 hp0 hp0 hp0 hp0 hp
  • 15 Jan 2020 fm SB_MU
  • 06 Apr 2020 em DIST
  • 17 Aug 2020 fm J
0212 Laboration 1,5 hp
Betygsskala: UG		0 hp1,5 hp0 hp0 hp0 hp0 hp

I program

Examinator

  • Vilhelm Adolfsson
Gå till kurshemsidan (Öppnas i ny flik)

Ersätter

  • TMA042 Matematiska metoder E
  • TMV136 Matematisk analys i en variabel

Behörighet

För kurser på grundnivå inom Chalmers utbildningsprogram gäller samma behörighetskrav som till de(t) program där kursen ingår i programplanen.

Kursspecifika förkunskaper

Kursen Inledande matematik.

Syfte

Kursens syfte är att, tillsammans med övriga matematikkurser, ge en matematisk allmänbildning som är så användbar som möjligt i fortsatta studier och teknisk yrkesverksamhet. En sådan användbarhetsaspekt är att för problemlösning inom kursens områden vidareutveckla de grunder i programspråket MATLAB som erhölls i den föregående matematikkursen. Kursen skall på ett logiskt och sammanhängande sätt ge sådana kunskaper i matematisk analys i en variabel som är nödvändiga för övriga kurser inom E-programmet.

Lärandemål (efter fullgjord kurs ska studenten kunna)

- ha fördjupad kunskap om elemäntära funktioner - definiera begreppet integral och redogöra för sambandet mellan derivata och integral - tillämpa och motivera metoder för att beräkna integraler både analytiskt och numeriskt; det senare även med MATLAB - förklara innebörden av en ordinär differentialekvation och dess riktningsfält och även kunna ställa upp en differentialekvation utgående från en beskrivande text - tillämpa och motivera både analytiska och numeriska metoder för att lösa ordinära differentialekvationer, det senare även med MATLAB - förklara hur funktioner kan approximeras med polynom samt framställas som potensserier och använda detta i problemlösning - kombinera kunskaper om olika begrepp i praktisk problemlösning - utnyttja programspråket MATLAB för problemlösning. Detta innebär att studenten skall kunna -- INTEGRALER -- -förklara betydelsen av begreppen primitiv funktion och obestämd integral. - ge definitionen av bestämd integral med hjälp av undersumma och översumma och förstå innebörden av begreppet Riemannintegrabel samt kunna redogöra varför detta begrepp förutsätter att integrationsintervallet samt integranden båda ska vara begränsade. Dessutom kunna ge exempel på ej Riemannintegrerbara funktioner; både sådana som inte uppfyller förutsättningarna för eventuell integrabilitet och sådana som gör det. - redogöra för begreppet Riemannsumma för en Riemannintegrerbar funktion. - tillämpa räknereglerna för integraler samt ge bevisskisser för dessa med informella argument. - ange förutsättningar för, samt bevisa medelvärdessatsen. - redogöra för att integralen av en kontinuerlig funktion på ett begränsat intervall existerar (bevis behöver ej kunnas). - bevisa differentialkalkylens huvudsats (båda 'delarna'); dvs i) för en kontinuerlig funktion f på ett intervall ange en primitiv funktion till f (dvs en deriverbar funktion vars derivarta är f), ii) för en bestämd integral av en funktion f på ett intervall så kan den bestämda integralen beräknas genom differensen av funktionsvärdena i ändpunkterna av intervallet, för en primitiv funktion till integranden f. Vidare kunna förklara varför den primitiva funktionen som bevisas existera i i) inte är av något värde i andra delen, punkt ii). - derivera en bestämd integral där integrationsgränserna beror på funktioner av derivationsvariabeln. - ange och använda primitiva funktioner till de elementära funktionerna, samt \ds{\int\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\, dx=\ln(x+\sqrt{x^2+1})+C} - genomföra och använda substitution och partialintegration i en (bestämd eller obestämd) integral samt kunna bevisa respektive formler. - hantera och använda så kallad 'boot-strapping'-teknik för beräkning av en integral genom återförande av integralen i termer av kända storheter och en multipel $c\not=1$ av sig självt. - förklara hur begränsningen i definitionen av bestämd integral kan generaliseras och ge definitioner av dessa generaliseringar samt innebörden av konvergent respektive divergent generaliserad integral. - jämförelsekriterier för generaliserade integraler med icke-negativa integrander. - genomföra numeriska uppskattningar av integraler med Trapetsformeln och Mittpunktsformeln. --TILLÄMPNINGAR AV INTEGRALER -- - härleda (på ett informellt vis) och använda skivformeln för volymsberäkning samt kunna använda detta förfarande för beräknande i specialfallen av rotationsvolym med hjälp av skivformeln respektive skalformeln. - finna längden av en funktionskurva och arean av en rotationsarea. - tillämpa integration i samband begrepp som massa, densitet, arbete och energi. -- DIFFERENTIALEKVATIONER -- - betrakta en primitiv funktion till en funktion f(x) som en lösning till y'=f; den enklaste ordinära differentialekvationen (ODE:n). - redogöra för begreppen ODE, PDE, ordning av en DE och BVP (begynnelsevärdesproblem; engelska: IVP) - definiera n:te ordningens linjär ODE; homogen och inhomogen sådan. Enkelt känna igen en icke-linjär ODE. - definiera och ange och använda lösningsförfarande för första ordningens linjär ODE (metoderna med integrerande faktor respektive parametervariation) och för separabel ODE (allmän lösning och (potentiellt) singulär). - redogöra för hur propotionallitet mellan lösningen, y, och förändringen, y', leder till återkoppling och exponentiell förändring. - redogöra för hur lösningar till karakteristiska ekvationen ger upphov till lösningar till motsvarande ODE; både för enkelrötter och multipelrötter. - skriva en lösning till en linjär ODE på sin reella form. - lösa en ODE på formen \ds{F(\frac{d^2y}{dx^2}, \frac{dy}{dx},x)=0 } och lösa en ODE på formen \ds{F(\frac{d^2y}{dx^2}, \frac{dy}{dx},y)=0 } - redogöra för definition och lösning av Eulers ODE. - förklara och använda metoden med ansättning som genväg istället för faktorisering för linjära ODE med konstanta koefficienter, då högerledet är av vissa typer av elementära funktioner; och även de modifikationer som behöver göras då del av homogenlösningen innehåller del av den tilltänkta ansättningen. -- TAYLORUTVECKLING -- - tillämpa begreppet linjarisering, L, av en funktion runt en punkt som approximation med tangentlinjen och måttet av avikelsen som feltermen E(x)=f(x)-L(x). - bevisa med hjälp av partialintegration ('åt fel håll') Taylors formel med Lagrange restterm. - definiera, förstå och använda ordo-notation samt att behärska dess användande i hantera resttermen i Taylors formel. - redogöra för entydigheten av taylorutveckling. - känna till de elementära funktionernas taylorutvecklingar. - använda taylorutvecklingar för att erhålla feluppskattningar och för att beräkna gränsvärden. -- SERIER -- - definiera sekvenser och deras eventuella konvergens eller divergens samt redogöra för innebörden av begreppen begränsad sekvens, positiv sekvens, negativ sekvens, växande respektive avtagande sekvens och alternerande sekvens. - bevisa att om en sekvens är konvergent så är den begränsad och kunna visa att omvändningen inte gäller. - förklara att varje växande och uppåt begränsad sekvens är konvergent; och motsvarande för avtagande sekvens. - definiera serier och seriers konvergens och divergens. - redogöra för innebörden av beteckningen $\sum a_n <\infty$ för en serie med icke-negativa termer. - bevisa att $\lim_{n\rightarrow\infty} a_n=0$ för en konvergent serie $\sum a_n$. - formulera, bevisa och använda jämförelsekriterier för positiva serier; dels allmänt och dels specifika kriterier som i) integralkriteriet, ii) $\sum b_n$ konvergent och $0\leq a_n\leq Cb_n\ \Rightarrow \sum a_n$ konvergent (och motsvarande för divergens), iii) jämförelsekriteriet på gränsvärdesform, iv) kvotkriteriet och v) rotkriteriet. - definiera potensserier samt kunna fastställa konvergensradie och konvergensmängd för en sådan serie. - känna till begreppet fourierserie och något om dess användning och egenskaper. Mer detaljerade läromål finns i kurs-PM, se kurshemsidan.

Innehåll

Primitiva funktioner och integraler, integrationsmetoder, integration av rationella funktioner och vissa andra funktioner. Generaliserade integraler. Tillämpningar på integraler: Area, volym, tyngdpunkt, kurvlängd, rotationskroppars area och volym. Introduktion till numerisk analys, något om datoraritmetik. Numerisk integration: trapetsformeln och Simpsons formel. Taylors och Maclaurins formler, serier och potensserier. Teorin för algebraiska ekvationer med komplexa koefficienter. Ordinära differentialekvationer (ODE): 1:a ordningens ekvation, allmänt, analytisk lösning av separabla och linjära ekvationer. Andra ordningens linjära ekvationer med konstanta koefficienter, svängningsekvationen i olika tappningar. Linjära diffekvationer av högre ordning. Substitution i ordinära diffekvationer. Numerisk derivering och numerisk lösning av ordinära diffekvationer. Grunderna i MATLAB, programmering och tillämpningar.

Organisation

Undervisningen ges i form av föreläsningar samt lektioner i mindre grupper sam datorlaborationer inom inom kursens ämnesområden med användande av beräknings- och programspråket MATLAB. Mer detaljerad information ges på kursens webbsida före kursstart.

Litteratur

Kurslitteratur anges på kursens webbsida före kursstart, se http://www.chalmers.se/math/SV/utbildning/grundutbildning-chalmers/arkitekt-och/elektroteknik

Examination inklusive obligatoriska moment

Mer detaljerad information om examinationen ges på kursens webbsida före kursstart. Exempel på examinationsformer som kan förekomma är: -utvalda uppgifter redovisas muntligt eller skriftligt för lärare under kursens gång, -annan dokumentation av kunskapsutvecklingen, -projektarbete enskilt eller i grupp, -skriftlig eller muntlig tentamen under och/eller i slutet av kursen. -problem/uppgifter löses med dator och redovisas skriftligt och/eller vid dator.

Kursplanen innehåller ändringar

  • Ändring gjord på tentamen:
    • 2020-03-30: Inställd Ändrat till inställd av Beslut Grulg
      [2020-04-06 6,0 hp, 0112] Inställt
    • 2020-01-13: Plats Plats ändrat från Johanneberg till SB Multisal av annbe
      [2020-01-15 6,0 hp, 0112]