Kursplan för Partiella differentialekvationer

Kursplanen innehåller ändringar
Se ändringar

Kursplan fastställd 2019-02-12 av programansvarig (eller motsvarande).

Kursöversikt

  • Engelskt namnPartial differential equations
  • KurskodMVE455
  • Omfattning4,5 Högskolepoäng
  • ÄgareTKKEF
  • UtbildningsnivåGrundnivå
  • HuvudområdeMatematik
  • InstitutionMATEMATISKA VETENSKAPER
  • BetygsskalaTH - Fem, Fyra, Tre, Underkänd

Kurstillfälle 1

  • Undervisningsspråk Engelska
  • Anmälningskod 54121
  • Max antal deltagare40
  • Sökbar för utbytesstudenterNej
  • Endast studenter med kurstillfället i programplan.

Poängfördelning

0115 Projekt 1,5 hp
Betygsskala: UG		 1,5 hp
0215 Tentamen 3 hp
Betygsskala: TH		 3 hp
  • 16 Mar 2020 fm H
  • 09 Jun 2020 em J
  • 27 Aug 2020 fm J

I program

Examinator

Gå till kurshemsidan (Öppnas i ny flik)

Behörighet

För kurser på grundnivå inom Chalmers utbildningsprogram gäller samma behörighetskrav som till de(t) program där kursen ingår i programplanen.

Kursspecifika förkunskaper

i) Gedigen bakgrund inom analys i en och flera variabler,
(ii) kunskaper om linjär algebra och geometri, såsom vektor- och matrisalgebra och linjära rum,
(iii) kunskaper om den elementära teorin om linjära ordinära differentialekvationer,
(iv) kännedom om komplexa talsystem och den komplexa exponentialfunktionen,
(v) en gedigen bakgrund inom fourieranalysen (speciellt variabelseparations-metoden).
(vi) kunskaper om Galerkins finita elementmetod i en dimension och polynominterpolation i en dimension (motsvarande kursmaterial i finita element delen av kursen TMA226).

Syfte

Syftet med denna kurs är:
(i) att täcka aktuella grundläggande teorin om partiella differentialekvationer.
(ii) att presentera några moderna approximationsmetoder att lösa partiella differentialekvationer.

Lärandemål (efter fullgjord kurs ska studenten kunna)

i) analysera välställdhet (existens, entydighet och stabilitet) hos linjära partiella differentialekvationer,
ii) konstruera finita elementdiskretiseringar av sådana ekvationer och genomföra felanalys, samt
iii) implementera finita elementmetoden för att numeriskt beräkna approximativa lösningar till partiella differentialekvationer från naturvetenskap och teknik.

Innehåll

I den teoretiska delen diskuterar vi välställdheten (existens, entydighet och stabilitet).
Detta är baserat på svaga formuleringar och minimeringsproblem (Lax-Milgram och Riesz) som verktyg för att visa existensen av en entydig lösning för det betraktade problemet. Dessutom studerar vi stabilitet hos grundläggande partiella differentialekvationer såsom poisson-, värmeledning-, våg- och konvektion-diffusionsekvationer i form av dirichlet-, neumann- och robinrandvärdesproblem. För att lösa tidsberoende partiella differentialekvationer, krävs studier av begynnelsevärdesproblem såsom populationsdynamik och dynamiska system, inom ramen av ordinära differentialekvationer (ODE).

I approximationsdelen fokuserar vi på att konstruera och analysera Galerkins finita elementmetoder (approximation med styckvisa polynom, generalisering av det kända endimensionella fallet till flera dimensioner) från två synvinklar.

Å ena sidan analyserar vi approximationsförfaranden, och baserat på både den kontinuerliga och diskreta svaga formuleringen kan vi garantera existensen av en entydigt bestämd diskret (approximativ) lösning och dess stabilitet. Konvergensanalysen är baserad på interpolationsteknik och studeras i både a priori (teoretiska) och a posteriori (beräkningsbaserade) feluppskattningar.

Å andra sidan arbetar vi med implementeringsaspekter för a priori och a posteriori feluppskattningar.
Här tar vi fram, till exempel, styvhets-, mass- och konvektionsmatriser, samt lastvektorer för att slutligen få ett linjärt ekvationssystem att lösa numeriskt. Studenterna uppmuntras att använda a posteriori felanalys för att få optimala beräkningsnät för konkreta problem.

Organisation

Kursen består av 27 timmar föreläsningar och 17 timmar övningar. Studenterna går till den första lektionen i läsvecka 1 och följer sedan kursen TMA372 från och med läsvecka 3. I kursen ingår ett projekt om implementering av finita elementmetoden för ett praktiskt problem.

Litteratur

M. Asadzadeh, An Introduction to the Finite Element Method (FEM) for Differential Equations. (Lecture Notes).

Examination inklusive obligatoriska moment

Skriftlig tentamen samt godkänt projekt.

Kursplanen innehåller ändringar

  • Ändring gjord på tentamen:
    • 2020-03-09: Plats Plats ändrat från Johanneberg till Hörsalar på hörsalsvägen av annbe
      [2020-03-16 3,0 hp, 0215]