Kursplan för Flervariabelanalys

Kursen skall ge förtrogenhet med de mest grundläggande teorierna inom matematisk analys i flera variabler samt belysa deras tillämpningar inom fysik och teknik.

Studenterna skall efter genomgången kurs ha förståelse för och kunna redogöra för innebörden hos och sambandet mellan den matematiska flervariabelanalysens grundläggande bregrepp och kunna tillämpa sina kunskaper i praktisk problemlösning. Bland de viktigaste lärandemålen finns följande:

• Att förstå differentialkalkylens grundläggande begrepp, såsom: partiell derivata, differentierbarhet, linjärisering, gradient, implicita och inversa funktionssatserna
• Att kunna tillämpa kedjeregeln vid variabelbyten i PDE
• Att kunna hitta och klassificera de stationära punkterna hos en funktion av flera variabler och tillämpa den kunskapen vid lösning av optimeringsproblem
• Att förstå innebörden av Riemannintegralen hos funktioner av flera variabler
• Att kunna tillämpa grundläggande tekniker till beräkning av multipelintegraler, såsom: inspektion/symmetri, Fubinis sats, variabelbyten, nivåytor
• Att kunna hantera olika parametriseringar av kurvor och ytor i rummet, förstå begreppen kurv- och ytintegral och beräkna dessa
• Att förstå Greens sats i planet, samt Gauss och Stokes satser i rummet och tillämpa dessa till beräkning av kurv- och flödesintegraler
• Att få grundläggande kunskap om framkomsten av kursens begrepp inom fysik, särskilt inom mekanik och elektromagnetism
• Att kunna derivera under integraltecknet
  

Funktioner av flera variabler. Partiella derivator, differentierbarhet, kedjeregeln, riktningsderivata, gradient, nivåkurvor och nivåytor, tangentplan. Taylors formel för funktioner av flera variabler, undersökning av stationära punkter. Dubbelintegraler, upprepad integration, variabelbyte, trippelintegraler, generaliserade integraler. Rymdkurvor. Kurvintegraler, Greens formel i planet, potentialer och exakta differentialformer. Ytor i R³, en ytas area, ytintegraler, divergens och rotation, Gauss och Stokes satser. Några fysikaliska problem som leder till partiella differentialekvationer. Partiella differentialekvationer av första ordningen. Derivering under integraltecken. Funktionaldeterminanter, inversa funktionssatsen, implicita funktioner. Extremvärdesproblem för funktioner av flera variabler, Lagranges multiplikatorregel.

Undervisningen består av föreläsningar och räkneövningar (de senare innehåller demonstrationer vid tavlan). Det finns frivilliga bonuspoänggivande moment:

• Elektroniska duggor.

A. Persson, L.-C. Böiers: Analys i flera variabler, Studentlitteratur, Lund. Övningar till Analys i flera variabler, Institutionen för matematik, Lunds tekniska högskola. ANNAN LITTERATUR L. Råde, B. Westergren: BETA - Mathematics Handbook, Studentlitteratur, Lund.