Kursplan för Finit elementmetod (FEM)

Kursplan fastställd 2025-02-04 av programansvarig (eller motsvarande).

Kursöversikt

  • Engelskt namnFinite element method (FEM)
  • KurskodMHA021
  • Omfattning7,5 Högskolepoäng
  • ÄgareTKMAS
  • UtbildningsnivåGrundnivå
  • HuvudområdeMaskinteknik, Samhällsbyggnadsteknik, Sjöfartsteknik
  • InstitutionMEKANIK OCH MARITIMA VETENSKAPER
  • BetygsskalaTH - Mycket väl godkänd (5), Väl godkänd (4), Godkänd (3), Underkänd

Kurstillfälle 1

  • Undervisningsspråk Engelska
  • Anmälningskod 55119
  • Sökbar för utbytesstudenterJa

Poängfördelning

0197 Tentamen 7,5 hp
Betygsskala: TH		 7,5 hp

I program

Examinator

Behörighet

Grundläggande behörighet för grundnivå
Sökande med en programregistrering på ett program där kursen ingår i programplanen undantas från ovan krav.

Särskild behörighet

Samma behörighet som det kursägande programmet.
Sökande med en programregistrering på ett program där kursen ingår i programplanen undantas från ovan krav.

Kursspecifika förkunskaper

Grundläggande programmeringskunskaper i Python. Deltagare förväntas också ha kunskaper i hållfasthetslära och vara väl förtrogen med begrepp som spänning, töjning, Hookes lag, jämvikt och relaterade koncept. Vissa kunskaper i matematik och linjär algebra krävs för att kunna tillgodogöra sig kursmaterialet; hit hör t ex integraler, derivator, Taylor serier, ordinära och partiella differentialekvationer, samt matrisalgebra.

Syfte

Matematisk modellering av problem och förlopp som studeras i teknik och naturvetenskap leder oftast till integralekvationer eller randvärdesproblem, och finit elementmetod (FEM) är ett kraftfullt standardverktyg för att approximera lösningen till sådana. Metoden är därför grundläggande i modern beräkningsteknik och flitigt använd inom analys och simulering. Kursens primära syfte är därför att lära ut hur och varför FEM fungerar, samt att visa hur metoden används för att lösa de i fysiken och maskintekniken vanligaste problemtyperna. Bredden och djupet på det genomgångna materialet är sådant att man på egen hand ska kunna skriva ett FEM program. Ett andra mål är att ge deltagarna insikt i modern beräkningsmekanik, samt insyn i hur FEM används i industriella tillämpningar. Slutligen ska deltagaren ges en bred och solid grund för fördjupade studier i FEM för t.ex olinjära och transienta problem, samt en kunskapsbas för studier i avancerad hållfasthetslära, konstitutiva modeller, strukturmekanik/dynamik, och närliggande ämnen.

Lärandemål (efter fullgjord kurs ska studenten kunna)

I kursen behandlas främst lineära och stationära problem, med tillämpningar på fältproblem (t.ex värmeledning, vridning av prismatiska balktvärsnitt, membranböjning, strömning i porösa media, etc), elasticitetsteori och balkböjning.
Efter avslutad kurs ska studenterna (för varje behandlad problemtyp) kunna:

  • Härleda en svag formulering som har samma lösning som det ursprungliga randvärdesproblemet, samt från den svaga formen härleda en FE formulering med testfunktioner enligt Galerkins metod.
  • Förklara hur olika typer av randvillkor påverkar den svaga formuleringen respektive FE formuleringen, och visa hur olika typer av randvillkor approximeras.
  • Visa hur FE approximationen konstrueras då ett problem innehåller en eller flera obekanta funktioner samt visa hur man får tillräckligt många ekvationer för att lösa de obekanta variablerna.
  • Härleda uttryck för elementstyvhetsmatriser och elementlastvektorer utifrån en FE formulering samt visa hur dessa kan assembleras till strukturstyvhetsmatriser respektive strukturlastvektorer.
  • Använda numerisk integration (Gausskvadratur) for att beräkna styvhetsmatriser och lastvektorer. 
  • Beskriva fördelar och risker med s.k reducerad integration.
  • Avgöra vad som är lämpligt antal integrationspunkter för en given elementapproximation.
  • Härleda uttryck för elementstyvhetsmatriser vid isoparametriska avbildningar samt ange villkor på elementgeometrier för att avbildningen ska vara möjlig.
  • Implementera, i Python, en funktion som numeriskt integrerar fram elementstyvhetsmatrisen för ett godtyckligt isoparametriskt element och för ett godtyckligt problem.
  • Ange vilka krav som ställs på en elementapproximation för att FE approximationen säkert ska konvergera mot lösningen för ett givet randvärdesproblem, samt ange fysikaliska tolkningar till dessa krav; ange vilka av kraven som ovillkorligen måste vara uppfyllda.
  • Redogöra för konvergens och konvergenshastighet samt hur konvergenshastigheten påverkas av olika elementapproximationer och av singulariteter i den exakta lösningen.
  • Beskriva olika situationer som ger singulariteter och tänka ut hur en FE approximation bör konstrueras med hänsyn till dessa.
  • Formulera ett minimeringsproblem som har samma lösning som ett givet randvärdesproblem och visa att minimeringsproblemet har en entydig lösning.
  • Bevisa att FEM minimerar den potentiella energin (eller motsvarande kvadratiska funktional, beroende på problemtyp) samt bevisa att en konform FE metod ger högre potentiell energi än den exakta lösningen.
  • Ange olika typer av felkällor, samt exemplifiera dessa, då ett fysiskt problem beskrivs med en matematisk modell vars lösning sedan approximeras.
  • Producera datorkod som löser vilket som helst av de behandlade problemen med FEM, samt använda programmet för att lösa givna exempel.
  • Beskriva strukturen hos en industriell FE-mjukvara. 
  • Använda en industriell FE-mjukvara för att lösa problem som tas upp i kursen.
  • Introducera tidsberoende FE-approximationer och särskilt tillämpa det på rörelseekvationerna för att härleda de elastodynamiska ekvationerna.
  • Härleda, beräkna och lösa ekvationerna som styr egenfrekvensanalys.

Innehåll

Finita elementmetoder används för att approximera lösningen till partiella differentialekvationer. I kursen behandlas främst problem från maskinteknik och strukturmekanik, såsom stationära fältproblem (t ex värmeledningsproblemet) samt linjära elasticitetsproblem (t ex axlar, skivor, balkar). Matematisk modellering av det fysiska problemet (dvs härledning av den styrande differentialekvationen och randvillkor) gås igenom översiktligt. Mer utförligt visas hur randvärdesproblemet kan skrivas om till svag form eller ett minimeringsproblem (principen om potentiella energins minimum), samt hur finita elementmetoden approximerar lösningen till dessa. I sammanhanget vanliga begrepp och numersika metoder gås också igenom; hit hör t ex numerisk integration, avbildningar och variabelsubstitutioner, elementapproximationer, lösning av ekvationssystem och konvergens. Kursen innehåller också läraktiviteter där problem löses mha. industriell FE-mjukvara. Tidsberoende approximationer och massmatriser. Egenfrekvensanalys.

Organisation

Kursen ges som datorövningar och en serie föreläsningar. Föreläsningarna, ca 15 st, behandlar främst teori, men vi löser även problem av räkneövningskaraktär för att illustrera delar av det genomgångna materialet. Vid datorövningarna används Python för att skriva egna finita elementprogram. Handledning till datorövningarna ges vid två tillfällen Gästföreläsare bjuds in för att beskriva och visa på hur FE-beräkningar används i industriellt arbete.

Litteratur

Rekommenderad litteratur (ej tillåten på tentamen): N Ottosen & H Petersson: "Introduction to the Finite Element Method", Prentice Hall, New York, 1992. 

Examination inklusive obligatoriska moment

Godkända redovisningar av inlämningsuppgifter (3 st) samt skriftlig tentamen. Betygsskala TH

Kursens examinator får examinera enstaka studenter på annat sätt än vad som anges ovan om särskilda skäl föreligger, till exempel om en student har ett beslut från Chalmers om riktat pedagogiskt stöd på grund av funktionsnedsättning.