Kursplan för Finit elementmetod (FEM)

Kursplan fastställd 2021-02-11 av programansvarig (eller motsvarande).

Kursöversikt

  • Engelskt namnFinite element method (FEM)
  • KurskodMHA021
  • Omfattning7,5 Högskolepoäng
  • ÄgareTKMAS
  • UtbildningsnivåGrundnivå
  • HuvudområdeMaskinteknik, Samhällsbyggnadsteknik, Sjöfartsteknik
  • InstitutionMEKANIK OCH MARITIMA VETENSKAPER
  • BetygsskalaTH - Mycket väl godkänd (5), Väl godkänd (4), Godkänd (3), Underkänd

Kurstillfälle 1

  • Undervisningsspråk Engelska
  • Anmälningskod 55129
  • Blockschema
  • Sökbar för utbytesstudenterJa

Poängfördelning

0197 Tentamen 7,5 hp
Betygsskala: TH		 7,5 hp
  • 11 Jan 2024 fm J_DATA
  • 05 Apr 2024 fm J_DATA
  • 26 Aug 2024 em J_DATA

I program

Examinator

Gå till kurshemsidan (Öppnas i ny flik)

Behörighet

Grundläggande behörighet för grundnivå
Sökande med en programregistrering på ett program där kursen ingår i programplanen undantas från ovan krav.

Särskild behörighet

Samma behörighet som det kursägande programmet.
Sökande med en programregistrering på ett program där kursen ingår i programplanen undantas från ovan krav.

Kursspecifika förkunskaper

Inga formella krav ställs. Rudimentära kunskaper i användade av MATLAB är dock nödvändigt. Deltagare förväntas också ha grundläggande kunskaper i hållfasthetslära och vara väl förtrogen med begrepp som spänning, töjning, Hookes lag, jämvikt och relaterade koncept. Vissa kunskaper i matematik och linjär algebra krävs för att kunna tillgodogöra sig kursmaterialet; hit hör t ex integraler, derivator, Taylor serier, ordinära och partiella differentialekvationer, samt matrisalgebra.

Syfte

Matematisk modellering av problem och förlopp som studeras i teknik och naturvetenskap leder oftast till integralekvationer eller randvärdesproblem, och finit elementmetod (FEM) är ett kraftfullt standardverktyg för att approximera lösningen till sådana. Metoden är därför grundläggande i modern beräkningsteknik och flitigt använd inom analys och simulering. Kursens primära syfte är därför att lära ut hur och varför FEM fungerar, samt att visa hur metoden används för att lösa de i fysiken och maskintekniken vanligaste problemtyperna. Bredden och djupet på det genomgångna materialet är sådant att man på egen hand ska kunna skriva ett FEM program. Ett andra mål är att ge deltagarna insikt i modern beräkningsmekanik, samt insyn i hur FEM används i industriella tillämpningar. Slutligen ska deltagaren ges en bred och solid grund för fördjupade studier i FEM för t.ex olineära och transienta problem, samt en kunskapsbas för studier i avancerad hållfasthetslära, konstitutiva modeller, strukturmekanik/dynamik, och närliggande ämnen.

Lärandemål (efter fullgjord kurs ska studenten kunna)

I kursen behandlas främst lineära och stationära problem, med tillämpningar på fältproblem (t.ex värmeledning, vridning av prismatiska balktvärsnitt, membranböjning, strömning i porösa media, etc), elasticitetsteori och balkböjning.
Efter avslutad kurs ska studenterna (för varje behandlad problemtyp) kunna:

  • Härleda ett variationsproblem som har samma lösning som det ursprungliga randvärdesproblemet, samt från variationsproblemet härleda en FE formulering med testfunktioner enligt Galerkins metod.
  • Förklara hur olika typer av randvillkor påverkar variations respektive FE formuleringen, och visa hur olika typer av randvillkor approximeras.
  • Visa hur FE approximationen konstrueras då ett problem innehåller en eller flera obekanta funktioner samt visa hur man får tillräckligt många ekvationer för att lösa de obekanta variablerna.
  • Härleda uttryck för elementstyvhetsmatriser och elementlastvektorer utifrån en formell FE formulering samt visa hur dessa kan assembleras till strukturstyvhetsmatriser respektive strukturlaster.
  • Härleda uttryck för integrationsvikter och integrationspunkter i gausskvadratur, samt redogöra för noggrannheten i ett integrationsschema med N punkter.
  • Beskriva fördelar och risker med s.k reducerad integration.
  • Avgöra vad som är lämpligt antal integrationspunkter för en given elementapproximation.
  • Härleda uttryck för elementstyvhetsmatriser vid isoparametriska avbildningar samt ange villkor på elementgeometrier för att avbildningen ska vara möjlig.
  • Implementera, i ett givet programmeringsspråk, en funktion som numeriskt integrerar fram elementstyvhetsmatrisen för ett godtyckligt isoparametriskt element och för ett godtyckligt problem.
  • Ange vilka krav som ställs på en elementapproximation för att FE approximationen säkert ska konvergera mot lösningen till ett givet randvärdesproblem, samt ange fysikaliska tolkningar till dessa krav; ange vilka av kraven som ovillkorligen måste vara uppfyllda.
  • Redogöra för konvergens och konvergenshastighet samt hur konvergenshastigheten påverkas av olika elementapproximationer och av singulariteter i den exakta lösningen.
  • Beskriva olika situationer som ger singulariteter och tänka ut hur en FE approximation bör konstrueras med hänsyn till dessa.
  • Formulera ett minimeringsproblem som har samma lösning som ett givet randvärdesproblem och visa att minimeringsproblemet har en entydig lösning.
  • Bevisa att FEM minimerar den potentiella energin (eller motsvarande kvadratiska funktional, beroende på problemtyp) samt bevisa att en konform FE metod ger högre potentiell energi än den exakta lösningen.
  • Bevisa Galerkin ortogonalitet samt att energin i felet är lika med felet i energi.
  • Beskriva adaptivitet och då speciellt hur man kan göra en a posteriori feluppskattning samt på vilka sätt en FE diskretisering kan modifieras för att minska felet.
  • Ange olika typer av felkällor, samt exemplifiera dessa, då ett fysiskt problem beskrivs med en matematisk modell vars lösning sedan approximeras.
  • Beskriva direktlösning av stora glesa ekvationssystem samt utifrån detta redogöra för hur nodnumrering påverkar beräkningstid och nödvändigt lagringsutrymme.
  • Beskriva iterativ lösning av stora glesa ekvationssystem samt relatera detta till minimeringsproblemet.
  • Producera datorkod som löser vilket som helst av de behandlade problemen med FEM, samt använda programmet för att lösa givna exempel.
  • Beskriva strukturen hos en industriell FE-mjukvara. 
  • Använda en industriell FE-mjukvara för att lösa problem som tas upp i kursen.

Innehåll

Finita elementmetoder används för att approximera lösningen till partiella differential ekvationer. I kursen behandlas främst problem från maskinteknik och strukturmekanik, såsom stationära fältproblem (t ex värmeledningsproblemet och vridning av tjockväggiga tvärsnitt) samt lineära elasticitetsproblem (t ex axlar, skivor, balkar). Modellering av det fysiska problemet (dvs härledning av den styrande differentialekvationen och randvillkor) gås igenom översiktligt. Mer utförligt visas hur randvärdesproblemet kan skrivas om till ett variationsproblem (t ex virtuella arbetets princip) eller ett minimeringsproblem (principen om potentiella energins minimum), samt hur finita elementmetoden approximerar lösningen till dessa. I sammanhanget vanliga begrepp och numersika metoder gås också igenom; hit hör t ex numerisk integration, avbildningar och variabelsubstitutioner, elementapproximationer, lösning av ekvationssystem, konvergens, feluppskattning samt adaptivitet. Kursen innehåller också läraktiviteter där problem löses mha. industriell FE-mjukvara. Detaljerat innehåll publiseras på kurshemsidan.

Organisation

Kursen ges som datorövningar och en serie föreläsningar. Föreläsningarna, ca 20 st, behandlar främst teori, men vi löser även problem av räkneövningskaraktär för att illustrera delar av det genomgångna materialet. Vid datorövningarna används MATLAB och "toolboxen" CALFEM för att sätta ihop egna finita elementprogram. Fyra av datorövningarna är utformade som obligatoriska inlämningsuppgifter; tre av dessa redovisas skriftligt och en muntligt vid terminal. Handledning till datorövningarna ges vid ett tillfälle om fyra timmar varje vecka. Gästföreläsare inbjuds för att beskriva och visa på hur FE-beräkningar används i industriellt arbete. Se vidare kurshemsidan.

Litteratur

N Ottosen & H Petersson: "Introduction to the Finite Element Method", Prentice Hall, New York, 1992. CALFEM - A Finite Element Toolbox to MATLAB V3.4, Division of Structural Mechanics and the Department of Solid Mechanics, Lund University, 2004. (Tillgänglig som pdf-fil på nätet). P W Möller: "Compiled lecture notes" (pdf), Chalmers 2020.

Examination inklusive obligatoriska moment

Godkända redovisningar av inlämningsuppgifter (4 st) samt skriftlig tentamen. Betygsskala TH

Kursens examinator får examinera enstaka studenter på annat sätt än vad som anges ovan om särskilda skäl föreligger, till exempel om en student har ett beslut från Chalmers om pedagogiskt stöd på grund av funktionsnedsättning.